ピタゴラスの直後のジオメトリ（c。580–c。500 bc）は、任意の2つの長さが共通の単位の整数倍で「可換」（つまり測定可能）であるという不健全な直観を共有しました。別の言い方をすれば、全体（またはカウント）数とそれらの比率（有理数または分数）は、任意の数量を記述するのに十分であると彼らは信じていました。したがって、ジオメトリはピタゴラスの信念と簡単に結びつきます。その最も重要な信条は、現実は本質的に数学であり、整数に基づいているということでした。特に関連したのは、比率の操作でした。これは、最初は算術によって確認された規則に従って行われました。したがって、サード（正方形ではない数の平方根）の発見は、ピタゴラスを弱体化させました。もはやa：b =c：d（aとbは、たとえば、比較的素数です）は、a = n cまたはb = n dです。ここで、nは整数です。伝説によると、ピタゴラス人の非合理的な量の発見者は、現在は無理数として知られていますが、彼の同胞によって殺されました。しかし、科学で秘密を守ることは難しい。
古代ギリシャ人には代数やヒンドゥーアラビア語の数字はありませんでした。ギリシャの幾何学は抽象的な図を含む論理的な推論にほとんど専ら基づいていました。したがって、通約不可能物の発見は、世界のピタゴラスの概念を混乱させる以上のことをしました。それは、数学的な推論の行き詰まりにつながりました。プラトンの時代の幾何学が、通約不可を説明する比率（比率）の定義を導入するまで持続した行き詰まりです。関与した主な数学者は、プラトンが完全な対話を捧げたアテナイのテアイテトゥス（紀元前417〜369紀元前）と、経済的でないものの扱いがブックVとして存続するクニドゥスの偉大なエウドクサス（紀元前390〜紀元前340紀元前）でした。ユークリッドのの要素。
ユークリッドは次の簡単な証明をしました。ピタゴラスの定理によれば、長さが1単位の正方形の対角線dは、式d 2 = 12 + 12 = 2 を満たす必要があります。ピタゴラスの予想に従って、対角線は2つの整数の比率（pとqなど）として表され、pとqは比較的素数であり、p > qです。つまり、比率は最も単純な形式に削減されています。したがって、p 2 / q 2 = 2となります。次に、p 2 = 2 q 2なので、p2 rのように、偶数でなければなりません。最後の方程式でpに2 rを挿入して簡略化すると、q 2 = 2 r 2が得られます。ここでqも偶数でなければならないため、pとqには1以外の共通因子がないという仮定に矛盾します。したがって、整数の比率、つまりギリシャ語の用語による「有理数」では、2の平方根を表すことができません。長さに基づいて形成される平方が平方数と等しくない長さ（たとえば、√2の平方根） 、√3の平方根、√5の平方根、√6の平方根、…）は「無理数」と呼ばれていました。
