アルキメデスの面積と体積の公式の証明は、現代までの極限の厳格な取り扱いの基準を設定しました。しかし、彼がこれらの結果を発見した方法は1906年まで謎のままでした。そのとき、彼の失った論文The Methodのコピーがコンスタンティノープル（現在のトルコ、イスタンブール）で発見されました。
アルキメデスは、後にカバリエリの原理として知られる方法を使用していたことが判明しました。特に、ファミリの各平面が2つのソリッドを等しい面積の断面にカットする場合、2つのソリッドは等しい体積を持つ必要があります（図を参照）。立体は、分割不可と呼ばれるそのようなセクションの合計と考えることができます。アルキメデスは実際にこの原則について詳しく説明し、地域内の対応するセクションを比較するだけでなく、てこの法則によってセクションの「バランスをとる」こともしました。
平行平面によるスライスのアイデアは中国で再発見され、球の体積が外接円筒の体積の3分の2であるという簡単な証明は、面積のみを使用して、Liu Huiによって広告263で与えられました。これらの線は、イタリアの数学者Bonaventura Cavalieriによって、彼のGeometria Indivisibilibus Continuorum Nova Quadam Ratione Promota（1635;「連続分割不可の新しいジオメトリを開発するための特定の方法」）で与えられました。カバリエリは、半球とその外接する円筒が、円筒の底面に平行な平面のファミリーによってカットされたときに何が起こるかを観察しました：球の各ディスク形状のセクションは、コーンの補集合の対応する環状セクションと同じ面積を持っていますシリンダー（参照図）。球体の体積の式は、ユードクサスの定理からすぐに続き、円錐の体積は外接する円筒の体積の3分の1であるとされます。
