Metalogic、形式言語と形式システムのセマンティクス（式と意味の間の関係）と構文（式の間の関係）の研究と分析。自然言語の正式な扱いに関連していますが、含まれていません。（自然言語の構文とセマンティクスの説明については、言語学とセマンティクスを参照してください。）
メタロジックの性質、起源、影響
構文とセマンティクス
正式な言語では通常、一連の形成規則が必要です。つまり、機械が候補をチェックできるという意味で、機械的に適用できる整形式（文または意味のある式）としてカウントされる表現の種類の完全な仕様要件を満たします。この仕様には通常3つの部分が含まれます：（1）機械的に与えられたプリミティブシンボル（基本単位）のリスト、（2）これらのシンボルの特定の組み合わせ、単純な（アトミック）文を形成するものとして機械的に選び出された、（3）帰納的条項—帰納的条項は、「∨」の記号で表される分離論理和「or」などの論理結合詞によって形成される所定の文の自然な組み合わせを規定している限り「〜」は「〜」を意味します。また、「for all」は「（∀）」で表され、これも文です。 [「（∀）」は量指定子と呼ばれ、これらの仕様は記号とその組み合わせにのみ関連しており、意味には関係していないため、言語の構文のみが関係します。
形式言語の解釈は、オブジェクトのドメインに関して言語の原子文の解釈を定式化することによって、つまり、ドメインのどのオブジェクトが言語のどの定数によって示され、どの関係と関数が示されるかを規定することによって決定されますどの述語文字と機能記号によって示されます。したがって、すべての文の真理値（「真」または「偽」）は、論理接続詞の標準的な解釈に従って決定されます。例えば、P・Qは、場合にのみ、真であるPとQ本当です。 （ここで、ドットは「および」という意味であり、乗算演算の「時間」ではありません。）したがって、正式な言語を解釈すると、真理の正式な概念が得られます。真実、意味、意味は意味論的な概念です。
さらに、正式な言語の正式なシステムが導入された場合、特定の構文の概念、つまり公理、推論のルール、および定理が生じます。特定の文は公理として選択されています。これらは（基本的な）定理です。推論の各ルールは、特定の文が定理である場合、適切な方法でそれらに関連する別の文も定理であると述べる帰納節です。場合はPと「どちらかnot- のpまたはqが」（〜P ∨ Q）の定理あり、例えば、そしてqは定理です。一般に、定理は、その前提が定理である推論規則の公理または結論です。
1931年にカートゲーデルは、興味深い（または重要な）フォーマルシステムのほとんどにおいて、すべての真の文が定理であるとは限らないという根本的な発見をしました。この発見から、意味論を構文に還元することはできません。したがって、証明理論に密接に関連している構文は、モデル理論に密接に関連しているセマンティクスと区別する必要があります。大まかに言えば、構文は数学の哲学で考えられているように、数論の分岐であり、セマンティクスは集合論の分岐であり、集合体の性質と関係を扱います。
歴史的に、論理システムと公理システムがますます正確になるにつれて、より明快にしたいという要望に応えて、直感的な意味だけに集中するのではなく、使用する言語の構文機能により大きな注意を払う傾向が現れました。このようにして、ロジック、公理的手法（幾何学で採用されている手法など）、記号論（記号の一般的な科学）は、メタロジックに収束しました。
公理的方法
最もよく知られている公理システムは、幾何学のためのユークリッドの公理システムです。ユークリッドと同様の方法で、すべての科学理論には意味のある概念の本体と真のまたは信じられている主張のコレクションが含まれます。概念の意味は、他の概念の観点から説明または定義されることがよくあります。同様に、アサーションの真実またはそれを信じる理由は、すでに受け入れられている他の特定のアサーションから推測できることを示すことによって、通常は明確にすることができます。公理的方法は一連のステップで進み、一連の原始的な概念と命題から始まり、次に理論から他のすべての概念と命題を定義または推論します。
19世紀に生じた、可能な幾何学が異なるという認識は、抽象的な数学を空間的直観から分離したいという欲求につながりました。その結果、多くの隠れた公理がユークリッドの幾何学で明らかになった。これらの発見は、David HilbertがGrundlagen der Geometrie（1899; The Foundations of Geometry）でより厳密な公理システムに編成しました。ただし、このシステムおよび関連システムでは、論理接続詞とそのプロパティは当然のことと見なされ、暗黙的なままです。関係するロジックが述語計算のロジックであると解釈された場合、ロジック担当者は、上記のような正式なシステムに到達できます。
このような形式的なシステムが得られると、特定の意味上の問題をより鋭い構文上の問題に変換することができます。たとえば、非ユークリッドジオメトリにはユークリッドジオメトリのモデル（または解釈）があり、実数の理論にモデルがあるため、非ユークリッドジオメトリは自己矛盾のないシステムでなければならないことが主張されています。ただし、実数の理論は矛盾が生じないという意味で、実数の理論が一貫していることがどのように知られているかを尋ねられる場合があります。明らかに、モデリングは相対的な一貫性しか確立できず、どこかで停止する必要があります。ただし、正式なシステム（実数など）に到達すると、一貫性の問題は構文問題の焦点がより明確になります。これは、可能なすべての証明を（構文オブジェクトとして）検討し、最後の文として（たとえば）0 = 1であるかどうかを確認することです。
別の例として、システムがカテゴリカルであるかどうか、つまり、システムが2つの解釈が同型であるという意味で本質的に一意の解釈を決定するかどうかという問題を調査できます。この意味論的質問は、関連する構文的質問、つまり完全性についてある程度置き換えることができます。つまり、意図された解釈に明確な真理値を持つ文が存在し、その文もその否定も定理ではないかどうかです。現在、意味論的および構文的概念が異なることが知られていますが、システムが「適切である」という漠然とした要件は、両方の概念によって明らかにされています。ヒルベルトによって強調された一貫性や完全性などの鋭い構文的質問の研究は、1920年頃に彼によって「メタ数学」（または「証明理論」）と呼ばれました。
